Introducción a la economía matemática I

Modelo Clásico: Equilibrio de Walras

Supuestos

• Precios y salarios flexibles: \(W\) y \(P\), \(W/P\) salario real.
• Todos los mercados en equilibrio:
  • \(Y^t = Y^d = Y^s\): Equilibrio en el mercado de bienes.
  • \(M^d = M^s\): Equilibrio en el mercado monetario.
  • \(N^t = N^d = N^s\): Equilibrio en el mercado de trabajo.
• Pleno empleo.
• Desempleo voluntario.
• Demanda agregada: Deducida de la teoría cuantitativa del dinero.
• Oferta agregada: Deducida del mercado de trabajo por los salarios reales y nivel de precios, tiene forma perfectamente inelástica.

Observaciones

• Variables reales: Producción (\(Y^t\)) y nivel de empleo (\(N^t\)).
• Variables nominales: Tasa de interés (\(r\)) y precios (\(P\)).
• Neutralidad del dinero: Un aumento en la oferta monetaria (\(\uparrow M\)) implica un aumento proporcional en los precios (\(\uparrow P\)), sin afectar las variables reales (\(Y^t, N^t\)).
• Políticas fiscales y de renta: Ineficientes debido al ajuste automático de precios y salarios.

Planteamiento

1. Planteamiento del modelo:

   \[ \begin{aligned} Y^t &= C(Y^t) + I(r - \bar{\pi}) + \bar{\mathrm{SD}}, & \bar{\mathrm{SD}} &= \bar{C} + \bar{G} + \bar{I}, \\ \frac{\bar{M}}{P} &= L(Y^t, r), \\ N^t &= N^d \left( \frac{W}{P} \right), \\ N^t &= N^s \left( \frac{W}{P} \right), \\ Y^t &= f(N^t), \end{aligned} \]

   donde:

   • Variables endógenas: \(Y^t\), \(r\), \(N^t\), \(\frac{W}{P}\), \(P\).
   • Variables exógenas: \(\bar{\mathrm{SD}}\), \(\bar{M}\), \(\bar{\pi}\).

2. Forma de identidad:

   \[ \begin{aligned} Y^t - C(Y^t) - I(r - \bar{\pi}) - \bar{\mathrm{SD}} &= 0 & &\leftrightarrow \bar{Y}^t = Y^t(\bar{\mathrm{SD}}, \bar{M}, \bar{\pi}), \\ \frac{\bar{M}}{P} - L(Y^t, r) &= 0 & &\leftrightarrow \bar{r} = r(\bar{\mathrm{SD}}, \bar{M}, \bar{\pi}), \\ N^t - N^d \left( \frac{W}{P} \right) &= 0 & &\leftrightarrow \bar{N}^t = N^t(\bar{\mathrm{SD}}, \bar{M}, \bar{\pi}), \\ N^t - N^s \left( \frac{W}{P} \right) &= 0 & &\leftrightarrow \bar{\frac{W}{P}} = \frac{W}{P}(\bar{\mathrm{SD}}, \bar{M}, \bar{\pi}), \\ Y^t - f(N^t) &= 0 & &\leftrightarrow \bar{P} = P(\bar{\mathrm{SD}}, \bar{M}, \bar{\pi}), \end{aligned} \]

3. Aplicación de diferencial total:

   \[ \begin{aligned} (1 - C_{Y^t}) dY^t - I_r dr &= -I_r d\bar{\pi} + d\bar{\mathrm{SD}}, \\ -L_{Y^t} dY^t + L_r dr + \frac{\bar{M}}{P^2} dP &= \frac{d\bar{M}}{P}, \\ dN^t &= N^d_{\frac{W}{P}} d \left( \frac{W}{P} \right), \\ dN^t &= N^s_{\frac{W}{P}} d \left( \frac{W}{P} \right), \\ dY^t &= f'(N^t) dN^t. \end{aligned} \]

4. Despejando exógenas:

   \[ \begin{aligned} (1 - C_{Y^t}) dY^t - I_r dr &= -I_r d\bar{\pi} + d\bar{\mathrm{SD}}, \\ -L_{Y^t} dY^t + L_r dr - \frac{\bar{M}}{P^2} dP &= -\frac{d\bar{M}}{P}, \\ dN^t - N^d_{\frac{W}{P}} d \left( \frac{W}{P} \right) &= 0, \\ dN^t - N^s_{\frac{W}{P}} d \left( \frac{W}{P} \right) &= 0, \\ dY^t - f'(N^t) dN^t &= 0. \end{aligned} \]

5. Matrices:

   \[ \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 & 0 & 0 \\ -L_{Y^t} & L_r & -\frac{\bar{M}}{P^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -N^d_{\frac{W}{P}} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -N^s_{\frac{W}{P}} \\ 1 & 0 & 0 & -f'(N^t) & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} dY^t \\ dr \\ dP \\ dN^t \\ d \left( \frac{W}{P} \right) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -I_r \\ 0 & -\frac{1}{P} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &-I_r \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\bar{\mathrm{SD}} \\ d\bar{M} \\ d\bar{\pi} \end{bmatrix}. \]

6. Determinante:

   Calculamos el determinante de la matriz para evaluar la estabilidad del sistema:

   \[ \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 & 0 & 0 \\ -L_{Y^t} & L_r & -\frac{\bar{M}}{P^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -N^d_{\frac{W}{P}} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -N^s_{\frac{W}{P}} \\ 1 & 0 & 0 & -f'(N^t) & 0 \end{bmatrix} = \frac{\bar{M} I_r}{P^2} \left( N^d_{\frac{W}{P}} - N^s_{\frac{W}{P}} \right). \]

   El determinante no es cero, lo que indica que el sistema es invertible y tiene solución única bajo las condiciones del modelo.

7. Análisis de política fiscal:

   Consideramos el efecto de \(d\bar{\mathrm{SD}} > 0\), con \(d\bar{M} = 0\), \(d\bar{\pi} = 0\):

   \[ \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 & 0 & 0 \\ -L_{Y^t} & L_r & -\frac{\bar{M}}{P^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -N^d_{\frac{W}{P}} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -N^s_{\frac{W}{P}} \\ 1 & 0 & 0 & -f'(N^t) & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{dY^t}{d\bar{\mathrm{SD}}} \\ \frac{dr}{d\bar{\mathrm{SD}}} \\ \frac{dP}{d\bar{\mathrm{SD}}} \\ \frac{dN^t}{d\bar{\mathrm{SD}}} \\ \frac{d \left( \frac{W}{P} \right)}{d\bar{\mathrm{SD}}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}. \]

   Calculamos:

   \[ \frac{dY^t}{d\bar{\mathrm{SD}}} = \frac{\det \begin{bmatrix} 1 & -I_r & 0 & 0 & 0 \\ 0 & L_r & -\frac{\bar{M}}{P^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -N^d_{\frac{W}{P}} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -N^s_{\frac{W}{P}} \\ 0 & 0 & 0 & -f'(N^t) & 0 \end{bmatrix}}{\det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 & 0 & 0 \\ -L_{Y^t} & L_r & -\frac{\bar{M}}{P^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -N^d_{\frac{W}{P}} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -N^s_{\frac{W}{P}} \\ 1 & 0 & 0 & -f'(N^t) & 0 \end{bmatrix}}. \]

   Numerador:

   \[ \det \begin{bmatrix} 1 & -I_r & 0 & 0 & 0 \\ 0 & L_r & -\frac{\bar{M}}{P^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -N^d_{\frac{W}{P}} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -N^s_{\frac{W}{P}} \\ 0 & 0 & 0 & -f'(N^t) & 0 \end{bmatrix} = 0 \quad (\text{primera columna tiene ceros en filas 2--5, y el bloque } 3 \times 3 \text{ da } 0). \]

   Denominador:

   \[ \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 & 0 & 0 \\ -L_{Y^t} & L_r & -\frac{\bar{M}}{P^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -N^d_{\frac{W}{P}} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -N^s_{\frac{W}{P}} \\ 1 & 0 & 0 & -f'(N^t) & 0 \end{bmatrix} = \frac{\bar{M} I_r}{P^2} \left( N^d_{\frac{W}{P}} - N^s_{\frac{W}{P}} \right) \neq 0. \]

   Resultado:

   \[ \frac{dY^t}{d\bar{\mathrm{SD}}} = \frac{0}{\frac{\bar{M} I_r}{P^2} \left( N^d_{\frac{W}{P}} - N^s_{\frac{W}{P}} \right)} = 0. \]

   Esto indica que un aumento en \(d\bar{\mathrm{SD}}\) no afecta \(Y^t\), consistente con el modelo clásico, donde el pleno empleo y la flexibilidad de precios neutralizan la política fiscal, afectando solo variables nominales.

Efecto crowding out

Un aumento en el gasto público (\(G\)) incrementa \(Y^d\), lo que inicialmente eleva \(Y^t\). Esto aumenta la demanda de dinero (\(M^d > M^s\)), elevando la tasa de interés (\(r\)) y reduciendo la inversión (\(I\)). En el modelo clásico, \(Y^t\) regresa a un nivel menor por el ajuste de precios, pero con una tasa de interés más alta:

\[ G \uparrow \rightarrow Y^d \uparrow \rightarrow Y^t \uparrow \rightarrow M^d > M^s \rightarrow r \uparrow \rightarrow I \downarrow. \]

Si no hay cambio en el tipo de interés, no hay efecto expansivo.

Modelo 2: Salarios Nominales Rígidos (Keynesiano)

Supuestos

• Salario nominal rígido: \(\bar{W}\) es exógeno.
• Equilibrio en el mercado de bienes.
• Equilibrio en el mercado monetario.
• Desequilibrio en el mercado de trabajo: Oferta de trabajo (\(N^s\)) mayor a la demanda de trabajo (\(N^d\)).

\[ N^s > N^d \quad (\text{exceso de oferta de trabajo}) \]

• Desempleo involuntario.
• Oferta agregada: Deducida de la curva de Phillips.
• Empleo efectivo: Determinado por la demanda de trabajo, \(N^t = N^d\).
• Alto desempleo: \(\frac{dN}{dW} < 0\).

Planteamiento

1. Planteamiento del modelo:

   \[ \begin{aligned} Y^t &= C(Y^t) + I(r - \bar{\pi}) + \bar{\mathrm{SD}}, & \bar{\mathrm{SD}} &= \bar{C} + \bar{G} + \bar{I}, \\ \frac{\bar{M}}{P} &= L(Y^t, r), \\ N^t &= N^d \left( \frac{\bar{W}}{P} \right), \\ Y^t &= f(N^t), \end{aligned} \]

   donde:

   • Variables endógenas: \(Y^t\), \(r\), \(N^t\), \(P\).
   • Variables exógenas: \(\bar{\mathrm{SD}}\), \(\bar{M}\), \(\bar{\pi}\), \(\bar{W}\).

2. Forma de identidad:

   \[ \begin{aligned} Y^t - C(Y^t) - I(r - \bar{\pi}) - \bar{\mathrm{SD}} &= 0 & &\leftrightarrow Y^{t*} = Y^t(\bar{\mathrm{SD}}, \bar{M}, \bar{\pi}, \bar{W}), \\ \frac{\bar{M}}{P} - L(Y^t, r) &= 0 & &\leftrightarrow r^* = r(\bar{\mathrm{SD}}, \bar{M}, \bar{\pi}, \bar{W}), \\ N^t - N^d \left( \frac{\bar{W}}{P} \right) &= 0 & &\leftrightarrow N^{t*} = N^t(\bar{\mathrm{SD}}, \bar{M}, \bar{\pi}, \bar{W}), \\ Y^t - f(N^t) &= 0 & &\leftrightarrow P^* = P(\bar{\mathrm{SD}}, \bar{M}, \bar{\pi}, \bar{W}), \end{aligned} \]

3. Aplicando diferenciales:

   \[ \begin{aligned} (1 - C_{Y^t}) dY^t - I_r dr &= d\bar{\mathrm{SD}} + I_r d\bar{\pi}, \\ -L_{Y^t} dY^t - L_r dr + \frac{\bar{M}}{P^2} dP &= \frac{d\bar{M}}{P}, \\ dN^t - N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \left( \frac{d\bar{W}}{P} - \frac{\bar{W}}{P^2} dP \right) &= 0, \\ dY^t - f'(N^t) dN^t &= 0. \end{aligned} \]

4. Despejando exógenas:

   \[ \begin{aligned} (1 - C_{Y^t}) dY^t - I_r dr &= d\bar{\mathrm{SD}} + I_r d\bar{\pi}, \\ -L_{Y^t} dY^t - L_r dr - \frac{\bar{M}}{P^2} dP &= -\frac{d\bar{M}}{P}, \\ dN^t + N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \left( \frac{\bar{W}}{P^2} dP \right) &= N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \left( \frac{d\bar{W}}{P} \right), \\ dY^t - f'(N^t) dN^t &= 0. \end{aligned} \]

5. Matrices:

   \[ \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 & 0 \\ -L_{Y^t} & -L_r & -\frac{\bar{M}}{P^2} & 0 \\ 0 & 0 & N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \frac{\bar{W}}{P^2} & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -f'(N^t) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} dY^t \\ dr \\ dP \\ dN^t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & I_r & 0 \\ 0 & -\frac{1}{P} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \frac{1}{P} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\bar{\mathrm{SD}} \\ d\bar{M} \\ d\bar{\pi} \\ d\bar{W} \end{bmatrix}. \]

6. Cálculo del determinante:

   \[ \Delta = \begin{vmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 & 0 \\ -L_{Y^t} & -L_r & -\frac{\bar{M}}{P^2} & 0 \\ 0 & 0 & N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \frac{\bar{W}}{P^2} & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -f'(N^t) \end{vmatrix}. \]

   Expandiendo por la cuarta fila:

   \[ \Delta = (-f'(N^t)) \cdot (-1)^{4+4} \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 \\ -L_{Y^t} & -L_r & -\frac{\bar{M}}{P^2} \\ 0 & 0 & N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \frac{\bar{W}}{P^2} \end{bmatrix} + 1 \cdot (-1)^{4+3} \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 \\ -L_{Y^t} & -L_r & -\frac{\bar{M}}{P^2} \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}. \]

   El segundo determinante es:

   \[ \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 \\ -L_{Y^t} & -L_r & -\frac{\bar{M}}{P^2} \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = -I_r \frac{\bar{M}}{P^2}. \]

   El primer determinante es:

   \[ \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 \\ -L_{Y^t} & -L_r & -\frac{\bar{M}}{P^2} \\ 0 & 0 & N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \frac{\bar{W}}{P^2} \end{bmatrix} = N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \frac{\bar{W}}{P^2} \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r \\ -L_{Y^t} & -L_r \end{bmatrix}. \]

   Calculando:

   \[ \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r \\ -L_{Y^t} & -L_r \end{bmatrix} = (1 - C_{Y^t})(-L_r) - (-I_r)(-L_{Y^t}) = -L_r (1 - C_{Y^t}) - I_r L_{Y^t}. \]

   Entonces:

   \[ \Delta = -f'(N^t) \cdot N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \frac{\bar{W}}{P^2} \left[ -L_r (1 - C_{Y^t}) - I_r L_{Y^t} \right] - I_r \frac{\bar{M}}{P^2}. \]

   Factorizando:

   \[ \Delta = \frac{\bar{M} I_r}{P^2} - f'(N^t) N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \frac{\bar{W}}{P^2} \left[ L_r (1 - C_{Y^t}) + I_r L_{Y^t} \right]. \]

   Dado que \(L_r < 0\), \(I_r < 0\), \(1 - C_{Y^t} > 0\), \(L_{Y^t} > 0\), \(f'(N^t) > 0\), \(N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} < 0\), \(\bar{M} > 0\), \(P > 0\), el signo de \(\Delta\) depende de los valores, pero típicamente \(\Delta < 0\).

7. Análisis de política fiscal:

   Consideramos \(\frac{dN^t}{d\bar{W}}\), con \(d\bar{W} \neq 0\), \(d\bar{\mathrm{SD}} = 0\), \(d\bar{\pi} = 0\), \(d\bar{M} = 0\):

   \[ \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 & 0 \\ -L_{Y^t} & -L_r & -\frac{\bar{M}}{P^2} & 0 \\ 0 & 0 & N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \frac{\bar{W}}{P^2} & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -f'(N^t) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{dY^t}{d\bar{W}} \\ \frac{dr}{d\bar{W}} \\ \frac{dP}{d\bar{W}} \\ \frac{dN^t}{d\bar{W}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \frac{1}{P} \\ 0 \end{bmatrix}. \]

   Calculamos \(\frac{dN^t}{d\bar{W}}\) usando el método de Cramer:

   \[ \frac{dN^t}{d\bar{W}} = \frac{\det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 & 0 \\ -L_{Y^t} & -L_r & -\frac{\bar{M}}{P^2} & 0 \\ 0 & 0 & N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \frac{\bar{W}}{P^2} & N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \frac{1}{P} \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}}{\Delta}. \]

   Numerador:

   \[ \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 & 0 \\ -L_{Y^t} & -L_r & -\frac{\bar{M}}{P^2} & 0 \\ 0 & 0 & N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \frac{\bar{W}}{P^2} & N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \frac{1}{P} \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = (-1)^{4+4} \cdot 0 \cdot \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 \\ -L_{Y^t} & -L_r & -\frac{\bar{M}}{P^2} \\ 0 & 0 & N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \frac{\bar{W}}{P^2} \end{bmatrix} + (-1)^{4+3} \cdot N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \frac{1}{P} \cdot \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 \\ -L_{Y^t} & -L_r & -\frac{\bar{M}}{P^2} \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}. \]

   El primer término es cero, y el segundo determinante es \(-I_r \frac{\bar{M}}{P^2}\). Entonces:

   \[ \det = - \left( N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \frac{1}{P} \right) \cdot \left( -I_r \frac{\bar{M}}{P^2} \right) = N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \frac{1}{P} I_r \frac{\bar{M}}{P^2}. \]

   Por lo tanto:

   \[ \frac{dN^t}{d\bar{W}} = \frac{N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \frac{1}{P} I_r \frac{\bar{M}}{P^2}}{\Delta}. \]

   Dado que \(N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} < 0\), \(I_r < 0\), \(\bar{M} > 0\), \(P > 0\), y \(\Delta < 0\), el signo es:

   \[ \frac{dN^t}{d\bar{W}} < 0 \quad (\text{Desempleo}). \]

Modelo 3: Rigideces Reales (Desempleo Clásico - Salario Real Rígido)

El salario real es rígido y está dado por:

\[ \frac{W}{P} = X \quad (\text{rigidez de salario real}). \]

Supuestos

• Existe desempleo involuntario debido a un salario real \(X\) por encima del nivel que garantiza el equilibrio en el mercado de trabajo (\(N^s > N^d\)).
• Equilibrio en el mercado de bienes: \(Y^t = Y^d\).
• Equilibrio en el mercado monetario: \(M^d = M^s\).
• Bajo el supuesto de que, ante una política económica, las variables reales (\(Y^t\), \(N^t\)) se comportan de manera contracíclica a las variables nominales (\(P\)). Además, el salario real está por encima del nivel que vacía el mercado de trabajo, lo que genera desempleo.

\[ \frac{dY^t}{dX} < 0, \quad \frac{dN^t}{dX} < 0, \quad \frac{dP}{dX} > 0. \]

\[ \begin{aligned} \frac{W}{P} &= X \quad \Rightarrow \text{rígido}, \\ N^t &= N^d(X), \\ Y^t &= Y^s = Y^d, \\ M^d &= M^s. \end{aligned} \]

Planteamiento del Modelo

1. Ecuaciones del modelo:

   \[ \begin{aligned} Y^t &= C(Y^t - \bar{T}) + I(r - \bar{\pi}) + \bar{\mathrm{SD}}, \quad \bar{\mathrm{SD}} = \bar{I} + \bar{C} + \bar{G}, \\ \frac{\bar{M}}{P} &= L(Y^t, r), \\ N^t &= N^d(X), \\ Y^t &= f(\bar{K}, N^t). \end{aligned} \]

   Variables endógenas: \(Y^t\), \(r\), \(N^t\), \(P\).

   Variables exógenas: \(\bar{\mathrm{SD}}\), \(\bar{M}\), \(X\), \(\bar{K}\), \(\bar{T}\), \(\bar{\pi}\).

2. Forma de identidad:

   Reescribimos las ecuaciones como identidades:

   \[ \begin{aligned} Y^t - C(Y^t - \bar{T}) - I(r - \bar{\pi}) - \bar{\mathrm{SD}} &= 0, \\ \frac{\bar{M}}{P} - L(Y^t, r) &= 0, \\ N^t - N^d(X) &= 0, \\ Y^t - f(\bar{K}, N^t) &= 0. \end{aligned} \]

   Las variables endógenas dependen funcionalmente de las exógenas:

   \[ \begin{aligned} \tilde{Y}^t &= Y^t(\bar{\mathrm{SD}}, \bar{\pi}, \bar{M}, X), \\ \tilde{r} &= r(\bar{\mathrm{SD}}, \bar{\pi}, \bar{M}, X), \\ \tilde{P} &= P(\bar{\mathrm{SD}}, \bar{\pi}, \bar{M}, X), \\ \tilde{N}^t &= N^t(\bar{\mathrm{SD}}, \bar{\pi}, \bar{M}, X). \end{aligned} \]

3. Diferenciales:

   Tomamos la diferencial total de cada ecuación:

   \[ \begin{aligned} (1 - C_{Y^t}) dY^t - I_r dr &= d\bar{\mathrm{SD}} + I_r d\bar{\pi}, \\ L_{Y^t} dY^t + L_r dr + \frac{\bar{M}}{P^2} dP &= \frac{1}{P} d\bar{M}, \\ dN^t &= N^d_X dX, \\ dY^t - f'(N^t) dN^t &= 0. \end{aligned} \]

4. Representación matricial:

   Escribimos el sistema en forma matricial \(\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{B} \mathbf{z}\):

   \[ \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 & 0 \\ L_{Y^t} & L_r & \frac{\bar{M}}{P^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -f'(N^t) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} dY^t \\ dr \\ dP \\ dN^t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & I_r & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{P} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & N^d_X \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\bar{\mathrm{SD}} \\ d\bar{\pi} \\ d\bar{M} \\ dX \end{bmatrix}. \]

5. Cálculo del determinante:

   La matriz \(\mathbf{A}\) es:

   \[ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 & 0 \\ L_{Y^t} & L_r & \frac{\bar{M}}{P^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -f'(N^t) \end{bmatrix}. \]

   Calculamos \(\det(\mathbf{A})\) expandiendo por la tercera columna:

   \[ \det(\mathbf{A}) = \frac{\bar{M}}{P^2} \cdot (-1)^{2+3} \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -f'(N^t) \end{bmatrix} + 1 \cdot (-1)^{4+4} \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 \\ L_{Y^t} & L_r & \frac{\bar{M}}{P^2} \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}. \]

   El primer determinante es 0 (dos filas proporcionales), así que:

   \[ \det(\mathbf{A}) = \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 \\ L_{Y^t} & L_r & \frac{\bar{M}}{P^2} \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}. \]

   Expandimos por la tercera fila:

   \[ \det = 1 \cdot \det \begin{bmatrix} -I_r & 0 \\ L_r & \frac{\bar{M}}{P^2} \end{bmatrix} = -I_r \cdot \frac{\bar{M}}{P^2}. \]

   Dado que \(I_r < 0\), \(\bar{M} > 0\), \(P > 0\), entonces:

   \[ \det(\mathbf{A}) = -I_r \frac{\bar{M}}{P^2} > 0. \]

6. Análisis del multiplicador \(\frac{dN^t}{dX}\):

   Consideramos \(dX \neq 0\), \(d\bar{\mathrm{SD}} = 0\), \(d\bar{\pi} = 0\), \(d\bar{M} = 0\):

   \[ \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 & 0 \\ L_{Y^t} & L_r & \frac{\bar{M}}{P^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -f'(N^t) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{dY^t}{dX} \\ \frac{dr}{dX} \\ \frac{dP}{dX} \\ \frac{dN^t}{dX} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ N^d_X \\ 0 \end{bmatrix}. \]

   Usamos el método de Cramer:

   \[ \frac{dN^t}{dX} = \frac{\det(\mathbf{A}_{dN^t})}{\det(\mathbf{A})}, \]

   donde:

   \[ \mathbf{A}_{dN^t} = \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 & 0 \\ L_{Y^t} & L_r & \frac{\bar{M}}{P^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & N^d_X \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}. \]

   Calculamos el determinante expandiendo por la tercera columna:

   \[ \det(\mathbf{A}_{dN^t}) = N^d_X \cdot (-1)^{3+4} \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 \\ L_{Y^t} & L_r & \frac{\bar{M}}{P^2} \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}. \]

   Usamos el determinante ya calculado:

   \[ \det(\mathbf{A}_{dN^t}) = -N^d_X \cdot \left( -I_r \frac{\bar{M}}{P^2} \right) = N^d_X I_r \frac{\bar{M}}{P^2}. \]

   Entonces:

   \[ \frac{dN^t}{dX} = \frac{N^d_X I_r \frac{\bar{M}}{P^2}}{-I_r \frac{\bar{M}}{P^2}} = -N^d_X. \]

   Dado que \(N^d_X < 0\) (la demanda de trabajo disminuye con un mayor salario real), entonces:

   \[ \frac{dN^t}{dX} < 0. \]

   Esto es consistente con el modelo clásico con rigidez de salario real: un aumento en \(X\) reduce el empleo \(N^t\).

7. Análisis del multiplicador \(\frac{dr}{dX}\):

   Calculamos el efecto de un cambio en el salario real rígido (\(X\)) sobre la tasa de interés (\(r\)):

   \[ \frac{dr}{dX} = \frac{\det(\mathbf{A}_{dr})}{\det(\mathbf{A})}, \]

   donde:

   \[ \mathbf{A}_{dr} = \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & 0 & 0 & 0 \\ L_{Y^t} & N^d_X & \frac{\bar{M}}{P^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -f'(N^t) \end{bmatrix}. \]

   Calculamos el determinante expandiendo por la tercera columna:

   \[ \det(\mathbf{A}_{dr}) = 0 \cdot (\text{cofactor}) + 1 \cdot (-1)^{4+4} \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & 0 & 0 \\ L_{Y^t} & N^d_X & \frac{\bar{M}}{P^2} \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}. \]

   El determinante es:

   \[ \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & 0 & 0 \\ L_{Y^t} & N^d_X & \frac{\bar{M}}{P^2} \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = 0, \]

   ya que la tercera columna tiene ceros en la primera y tercera filas. Entonces:

   \[ \frac{dr}{dX} = \frac{0}{-I_r \frac{\bar{M}}{P^2}} = 0. \]

   Esto indica que un cambio en el salario real rígido no afecta la tasa de interés, lo que es consistente con el modelo.

8. Análisis del multiplicador \(\frac{dY^t}{dX}\):

   \[ \frac{dY^t}{dX} = \frac{\det(\mathbf{A}_{dY^t})}{\det(\mathbf{A})}, \]

   donde:

   \[ \mathbf{A}_{dY^t} = \begin{bmatrix} 0 & -I_r & 0 & 0 \\ 0 & L_r & \frac{\bar{M}}{P^2} & 0 \\ N^d_X & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -f'(N^t) \end{bmatrix}. \]

   Calculamos el determinante:

   \[ \det(\mathbf{A}_{dY^t}) = 0 \cdot (\text{cofactor}) + (-f'(N^t)) \cdot (-1)^{4+4} \det \begin{bmatrix} 0 & -I_r & 0 \\ 0 & L_r & \frac{\bar{M}}{P^2} \\ N^d_X & 0 & 0 \end{bmatrix}. \]

   El determinante del bloque es:

   \[ \det \begin{bmatrix} 0 & -I_r & 0 \\ 0 & L_r & \frac{\bar{M}}{P^2} \\ N^d_X & 0 & 0 \end{bmatrix} = N^d_X \cdot (-1)^{3+1} \det \begin{bmatrix} -I_r & 0 \\ L_r & \frac{\bar{M}}{P^2} \end{bmatrix} = N^d_X \cdot (-I_r) \cdot \frac{\bar{M}}{P^2}. \]

   Entonces:

   \[ \det(\mathbf{A}_{dY^t}) = -f'(N^t) \cdot N^d_X \cdot (-I_r) \cdot \frac{\bar{M}}{P^2} = f'(N^t) N^d_X I_r \frac{\bar{M}}{P^2}. \]

   Por lo tanto:

   \[ \frac{dY^t}{dX} = \frac{f'(N^t) N^d_X I_r \frac{\bar{M}}{P^2}}{-I_r \frac{\bar{M}}{P^2}} = f'(N^t) N^d_X. \]

   Dado que \(f'(N^t) > 0\) y \(N^d_X < 0\), entonces:

   \[ \frac{dY^t}{dX} < 0. \]

9. Análisis del multiplicador \(\frac{dP}{dX}\):

   \[ \frac{dP}{dX} = \frac{\det(\mathbf{A}_{dP})}{\det(\mathbf{A})}, \]

   donde:

   \[ \mathbf{A}_{dP} = \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 & 0 \\ L_{Y^t} & L_r & N^d_X & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -f'(N^t) \end{bmatrix}. \]

   Calculamos el determinante:

   \[ \det(\mathbf{A}_{dP}) = N^d_X \cdot (-1)^{2+3} \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -f'(N^t) \end{bmatrix} + 1 \cdot (-1)^{4+4} \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 \\ L_{Y^t} & L_r & N^d_X \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}. \]

   El primer determinante es 0, y el segundo es:

   \[ \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 \\ L_{Y^t} & L_r & N^d_X \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = -N^d_X \cdot \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = -N^d_X \cdot (-I_r) = N^d_X I_r. \]

   Entonces:

   \[ \frac{dP}{dX} = \frac{N^d_X I_r}{-I_r \frac{\bar{M}}{P^2}} = -\frac{N^d_X}{\frac{\bar{M}}{P^2}}. \]

   Dado que \(N^d_X < 0\), \(\bar{M} > 0\), \(P > 0\), entonces:

   \[ \frac{dP}{dX} > 0. \]

Modelo 4: Rigideces Reales y Nominales (Desempleo Keynesiano)

Supuestos

• Precios y salarios rígidos: \(\bar{P}\) y \(\bar{W}\).
• Dos fallas de mercado:
  • Exceso de oferta de bienes: \(Y^s > Y^d = Y^t\).
  • Exceso de oferta de trabajo: \(N^s > N^d = N^t\).
• Función de producción inversa: \(N^t = F^{-1}(Y^d)\).
• Las empresas no venden toda su producción a los precios vigentes, por lo que no contratan más trabajadores aunque el salario disminuya.

Modelo Resumen

\[ \begin{aligned} Y^t &= C(Y^t - \bar{T}) + I(r) + \bar{\mathrm{SD}}, \\ \frac{\bar{M}}{\bar{P}} &= L(Y^t, r), \\ N^t &= F^{-1}(Y^t). \end{aligned} \]

Variables endógenas: \(Y^t\), \(r\), \(N^t\).

Variables exógenas: \(\bar{\mathrm{SD}}\), \(\bar{M}\), \(\bar{W}/\bar{P}\), \(\bar{T}\).

Planteamiento del Modelo

1. Ecuaciones:

   \[ \begin{aligned} Y^t &= C(Y^t - \bar{T}) + I(r) + \bar{\mathrm{SD}}, \\ \frac{\bar{M}}{\bar{P}} &= L(Y^t, r), \\ N^t &= F^{-1}(Y^t). \end{aligned} \]

2. Forma de identidad:

   \[ \begin{aligned} Y^t - C(Y^t - \bar{T}) - I(r) - \bar{\mathrm{SD}} &= 0, \\ \frac{\bar{M}}{\bar{P}} - L(Y^t, r) &= 0, \\ N^t - F^{-1}(Y^t) &= 0. \end{aligned} \]

   Las variables endógenas dependen de las exógenas:

   \[ \begin{aligned} Y^{t*} &= Y^t(\bar{\mathrm{SD}}, \bar{M}, \bar{W}/\bar{P}, \bar{T}), \\ r^* &= r(\bar{\mathrm{SD}}, \bar{M}, \bar{W}/\bar{P}, \bar{T}), \\ N^{t*} &= N^t(\bar{\mathrm{SD}}, \bar{M}, \bar{W}/\bar{P}, \bar{T}). \end{aligned} \]

3. Diferenciales:

   \[ \begin{aligned} (1 - C_{Y^t}) dY^t - I_r dr &= d\bar{\mathrm{SD}} - C_T d\bar{T}, \\ -L_{Y^t} dY^t - L_r dr &= -\frac{1}{\bar{P}} d\bar{M}, \\ dN^t - (F^{-1})'(Y^t) dY^t &= 0. \end{aligned} \]

4. Matriz:

   \[ \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 \\ -L_{Y^t} & -L_r & 0 \\ -(F^{-1})'(Y^t) & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} dY^t \\ dr \\ dN^t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -C_T & 0 \\ 0 & -\frac{1}{\bar{P}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\bar{\mathrm{SD}} \\ d\bar{M} \\ d\bar{T} \\ d(\bar{W}/\bar{P}) \end{bmatrix}. \]

5. Determinante:

   \[ \Delta = \begin{vmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 \\ -L_{Y^t} & -L_r & 0 \\ -(F^{-1})'(Y^t) & 0 & 1 \end{vmatrix}. \]

   Expandiendo por la tercera columna:

   \[ \Delta = 1 \cdot \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r \\ -L_{Y^t} & -L_r \end{bmatrix} = (1 - C_{Y^t})(-L_r) - (-I_r)(-L_{Y^t}) = L_r (1 - C_{Y^t}) + I_r L_{Y^t}. \]

   Dado que \(L_r < 0\), \(I_r < 0\), \(L_{Y^t} > 0\), \(1 - C_{Y^t} > 0\), entonces \(\Delta > 0\).

6. Política monetaria:

   Consideramos \(d\bar{M} \neq 0\), \(d\bar{\mathrm{SD}} = 0\), \(d\bar{T} = 0\), \(d(\bar{W}/\bar{P}) = 0\):

   \[ \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 \\ -L_{Y^t} & -L_r & 0 \\ -(F^{-1})'(Y^t) & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{dY^t}{d\bar{M}} \\ \frac{dr}{d\bar{M}} \\ \frac{dN^t}{d\bar{M}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -\frac{1}{\bar{P}} \\ 0 \end{bmatrix}. \]

   Calculamos \(\frac{dY^t}{d\bar{M}}\):

   \[ \frac{dY^t}{d\bar{M}} = \frac{\det \begin{bmatrix} 0 & -I_r & 0 \\ -\frac{1}{\bar{P}} & -L_r & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}{\Delta}. \]

   Numerador:

   \[ \det \begin{bmatrix} 0 & -I_r & 0 \\ -\frac{1}{\bar{P}} & -L_r & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = 1 \cdot \det \begin{bmatrix} 0 & -I_r \\ -\frac{1}{\bar{P}} & -L_r \end{bmatrix} = -I_r \cdot \frac{1}{\bar{P}}. \]

   Entonces:

   \[ \frac{dY^t}{d\bar{M}} = \frac{-\frac{I_r}{\bar{P}}}{L_r (1 - C_{Y^t}) + I_r L_{Y^t}}. \]

   Dado que \(I_r < 0\), \(\bar{P} > 0\), y \(\Delta > 0\), entonces:

   \[ \frac{dY^t}{d\bar{M}} > 0. \]

   Calculamos \(\frac{dN^t}{d\bar{M}}\):

   \[ \frac{dN^t}{d\bar{M}} = \frac{\det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 \\ -L_{Y^t} & -L_r & -\frac{1}{\bar{P}} \\ -(F^{-1})'(Y^t) & 0 & 0 \end{bmatrix}}{\Delta}. \]

   Numerador:

   \[ \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 \\ -L_{Y^t} & -L_r & -\frac{1}{\bar{P}} \\ -(F^{-1})'(Y^t) & 0 & 0 \end{bmatrix} = -(F^{-1})'(Y^t) \cdot (-1)^{3+3} \det \begin{bmatrix} -I_r & 0 \\ -L_r & -\frac{1}{\bar{P}} \end{bmatrix}. \]

   Calculando:

   \[ \det \begin{bmatrix} -I_r & 0 \\ -L_r & -\frac{1}{\bar{P}} \end{bmatrix} = (-I_r) \cdot \left(-\frac{1}{\bar{P}}\right) = \frac{I_r}{\bar{P}}. \]

   Entonces:

   \[ \det = -(F^{-1})'(Y^t) \cdot \frac{I_r}{\bar{P}} = -(F^{-1})'(Y^t) \frac{I_r}{\bar{P}}. \]

   Por lo tanto:

   \[ \frac{dN^t}{d\bar{M}} = \frac{-(F^{-1})'(Y^t) \frac{I_r}{\bar{P}}}{L_r (1 - C_{Y^t}) + I_r L_{Y^t}}. \]

   Dado que \((F^{-1})'(Y^t) > 0\), \(I_r < 0\), \(\bar{P} > 0\), y \(\Delta > 0\), entonces:

   \[ \frac{dN^t}{d\bar{M}} > 0. \]

   Esto indica que una política monetaria expansiva (\(d\bar{M} > 0\)) aumenta la producción (\(Y^t\)) y el empleo (\(N^t\)), comportándose de manera procíclica con las variables reales y contracíclica con la tasa de interés (si \(dr/d\bar{M} < 0\)).

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