Introducción a la economía matemática I

1.1 Supuestos

• Precios y salarios flexibles: $W$ y $P$, $W/P$ salario real.
• Todos los mercados en equilibrio:
  • $Y^t = Y^d = Y^s$: Equilibrio en el mercado de bienes.
  • $M^d = M^s$: Equilibrio en el mercado monetario.
  • $N^t = N^d = N^s$: Equilibrio en el mercado de trabajo.
• Pleno empleo.
• Desempleo voluntario.
• Demanda agregada: Deducida de la teoría cuantitativa del dinero.
• Oferta agregada: Deducida del mercado de trabajo por los salarios reales y nivel de precios, tiene forma perfectamente inelástica.

1.2 Observaciones

• Variables reales: Producción ($Y^t$) y nivel de empleo ($N^t$).
• Variables nominales: Tasa de interés ($r$) y precios ($P$).
• Neutralidad del dinero: Un aumento en la oferta monetaria ($\uparrow M$) implica un aumento proporcional en los precios ($\uparrow P$), sin afectar las variables reales ($Y^t, N^t$).
• Políticas fiscales y de renta: Ineficientes debido al ajuste automático de precios y salarios.

1.3 Planteamiento

1. Planteamiento del modelo:

   $$\begin{aligned} Y^t &= C(Y^t) + I(r - \bar{\pi}) + \bar{\mathrm{SD}}, & \bar{\mathrm{SD}} &= \bar{C} + \bar{G} + \bar{I}, \\ \dfrac{\bar{M}}{P} &= L(Y^t, r), \\ N^t &= N^d \left( \dfrac{W}{P} \right), \\ N^t &= N^s \left( \dfrac{W}{P} \right), \\ Y^t &= f(N^t), \end{aligned}$$

   donde:

   • Variables endógenas: $Y^t$, $r$, $N^t$, $\frac{W}{P}$, $P$.
   • Variables exógenas: $\bar{\mathrm{SD}}$, $\bar{M}$, $\bar{\pi}$.

2. Forma de identidad:

   $$\begin{aligned} Y^t - C(Y^t) - I(r - \bar{\pi}) - \bar{\mathrm{SD}} &= 0 & &\leftrightarrow \bar{Y}^t = Y^t(\bar{\mathrm{SD}}, \bar{M}, \bar{\pi}), \\ \dfrac{\bar{M}}{P} - L(Y^t, r) &= 0 & &\leftrightarrow \bar{r} = r(\bar{\mathrm{SD}}, \bar{M}, \bar{\pi}), \\ N^t - N^d \left( \dfrac{W}{P} \right) &= 0 & &\leftrightarrow \bar{N}^t = N^t(\bar{\mathrm{SD}}, \bar{M}, \bar{\pi}), \\ N^t - N^s \left( \dfrac{W}{P} \right) &= 0 & &\leftrightarrow \bar{\dfrac{W}{P}} = \dfrac{W}{P}(\bar{\mathrm{SD}}, \bar{M}, \bar{\pi}), \\ Y^t - f(N^t) &= 0 & &\leftrightarrow \bar{P} = P(\bar{\mathrm{SD}}, \bar{M}, \bar{\pi}), \end{aligned}$$

3. Aplicación de diferencial total:

   $$\begin{aligned} (1 - C_{Y^t}) dY^t - I_r dr &= -I_r d\bar{\pi} + d\bar{\mathrm{SD}}, \\ -L_{Y^t} dY^t + L_r dr + \dfrac{\bar{M}}{P^2} dP &= \dfrac{d\bar{M}}{P}, \\ dN^t &= N^d_{\frac{W}{P}} d \left( \dfrac{W}{P} \right), \\ dN^t &= N^s_{\frac{W}{P}} d \left( \dfrac{W}{P} \right), \\ dY^t &= f'(N^t) dN^t. \end{aligned}$$

4. Despejando exógenas:

   $$\begin{aligned} (1 - C_{Y^t}) dY^t - I_r dr &= -I_r d\bar{\pi} + d\bar{\mathrm{SD}}, \\ -L_{Y^t} dY^t + L_r dr - \dfrac{\bar{M}}{P^2} dP &= -\dfrac{d\bar{M}}{P}, \\ dN^t - N^d_{\frac{W}{P}} d \left( \dfrac{W}{P} \right) &= 0, \\ dN^t - N^s_{\frac{W}{P}} d \left( \dfrac{W}{P} \right) &= 0, \\ dY^t - f'(N^t) dN^t &= 0. \end{aligned}$$

5. Matrices:

   $$\begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 & 0 & 0 \\ -L_{Y^t} & L_r & -\dfrac{\bar{M}}{P^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -N^d_{\frac{W}{P}} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -N^s_{\frac{W}{P}} \\ 1 & 0 & 0 & -f'(N^t) & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} dY^t \\ dr \\ dP \\ dN^t \\ d \left( \dfrac{W}{P} \right) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -I_r \\ 0 & -\dfrac{1}{P} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &-I_r \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\bar{\mathrm{SD}} \\ d\bar{M} \\ d\bar{\pi} \end{bmatrix}.$$

6. Determinante:

   Calculamos el determinante de la matriz para evaluar la estabilidad del sistema:

   $$\det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 & 0 & 0 \\ -L_{Y^t} & L_r & -\dfrac{\bar{M}}{P^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -N^d_{\frac{W}{P}} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -N^s_{\frac{W}{P}} \\ 1 & 0 & 0 & -f'(N^t) & 0 \end{bmatrix} = \dfrac{\bar{M} I_r}{P^2} \left( N^d_{\frac{W}{P}} - N^s_{\frac{W}{P}} \right).$$

   El determinante no es cero, lo que indica que el sistema es invertible y tiene solución única bajo las condiciones del modelo.

7. Análisis de política fiscal:

   Consideramos el efecto de $d\bar{\mathrm{SD}} > 0$, con $d\bar{M} = 0$, $d\bar{\pi} = 0$:

   $$\begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 & 0 & 0 \\ -L_{Y^t} & L_r & -\dfrac{\bar{M}}{P^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -N^d_{\frac{W}{P}} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -N^s_{\frac{W}{P}} \\ 1 & 0 & 0 & -f'(N^t) & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{dY^t}{d\bar{\mathrm{SD}}} \\ \dfrac{dr}{d\bar{\mathrm{SD}}} \\ \dfrac{dP}{d\bar{\mathrm{SD}}} \\ \dfrac{dN^t}{d\bar{\mathrm{SD}}} \\ \dfrac{d \left( \dfrac{W}{P} \right)}{d\bar{\mathrm{SD}}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}.$$

   Calculamos:

   $$\dfrac{dY^t}{d\bar{\mathrm{SD}}} = \dfrac{\det \begin{bmatrix} 1 & -I_r & 0 & 0 & 0 \\ 0 & L_r & -\dfrac{\bar{M}}{P^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -N^d_{\frac{W}{P}} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -N^s_{\frac{W}{P}} \\ 0 & 0 & 0 & -f'(N^t) & 0 \end{bmatrix}}{\det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 & 0 & 0 \\ -L_{Y^t} & L_r & -\dfrac{\bar{M}}{P^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -N^d_{\frac{W}{P}} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -N^s_{\frac{W}{P}} \\ 1 & 0 & 0 & -f'(N^t) & 0 \end{bmatrix}}.$$

   Numerador:

   $$\det \begin{bmatrix} 1 & -I_r & 0 & 0 & 0 \\ 0 & L_r & -\dfrac{\bar{M}}{P^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -N^d_{\frac{W}{P}} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -N^s_{\frac{W}{P}} \\ 0 & 0 & 0 & -f'(N^t) & 0 \end{bmatrix} = 0 \quad (\text{primera columna tiene ceros en filas 2--5, y el bloque } 3 \times 3 \text{ da } 0).$$

   Denominador:

   $$\det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 & 0 & 0 \\ -L_{Y^t} & L_r & -\dfrac{\bar{M}}{P^2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -N^d_{\frac{W}{P}} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -N^s_{\frac{W}{P}} \\ 1 & 0 & 0 & -f'(N^t) & 0 \end{bmatrix} = \dfrac{\bar{M} I_r}{P^2} \left( N^d_{\frac{W}{P}} - N^s_{\frac{W}{P}} \right) \neq 0.$$

   Resultado:

   $$\dfrac{dY^t}{d\bar{\mathrm{SD}}} = \dfrac{0}{\dfrac{\bar{M} I_r}{P^2} \left( N^d_{\frac{W}{P}} - N^s_{\frac{W}{P}} \right)} = 0.$$

   Esto indica que un aumento en $d\bar{\mathrm{SD}}$ no afecta $Y^t$, consistente con el modelo clásico, donde el pleno empleo y la flexibilidad de precios neutralizan la política fiscal, afectando solo variables nominales.

1.4 Efecto crowding out

Un aumento en el gasto público ($G$) incrementa $Y^d$, lo que inicialmente eleva $Y^t$. Esto aumenta la demanda de dinero ($M^d > M^s$), elevando la tasa de interés ($r$) y reduciendo la inversión ($I$). En el modelo clásico, $Y^t$ regresa a un nivel menor por el ajuste de precios, pero con una tasa de interés más alta:

$$G \uparrow \rightarrow Y^d \uparrow \rightarrow Y^t \uparrow \rightarrow M^d > M^s \rightarrow r \uparrow \rightarrow I \downarrow.$$

Si no hay cambio en el tipo de interés, no hay efecto expansivo.

2.1 Supuestos

• Salario nominal rígido: $\bar{W}$ es exógeno.
• Equilibrio en el mercado de bienes.
• Equilibrio en el mercado monetario.
• Desequilibrio en el mercado de trabajo: Oferta de trabajo ($N^s$) mayor a la demanda de trabajo ($N^d$).

$$N^s > N^d \quad (\text{exceso de oferta de trabajo})$$

• Desempleo involuntario.
• Oferta agregada: Deducida de la curva de Phillips.
• Empleo efectivo: Determinado por la demanda de trabajo, $N^t = N^d$.
• Alto desempleo: $\frac{dN}{dW} < 0$.

2.2 Planteamiento

1. Planteamiento del modelo:

   $$\begin{aligned} Y^t &= C(Y^t) + I(r - \bar{\pi}) + \bar{\mathrm{SD}}, & \bar{\mathrm{SD}} &= \bar{C} + \bar{G} + \bar{I}, \\ \dfrac{\bar{M}}{P} &= L(Y^t, r), \\ N^t &= N^d \left( \dfrac{\bar{W}}{P} \right), \\ Y^t &= f(N^t), \end{aligned}$$

   donde:

   • Variables endógenas: $Y^t$, $r$, $N^t$, $P$.
   • Variables exógenas: $\bar{\mathrm{SD}}$, $\bar{M}$, $\bar{\pi}$, $\bar{W}$.

2. Forma de identidad:

   $$\begin{aligned} Y^t - C(Y^t) - I(r - \bar{\pi}) - \bar{\mathrm{SD}} &= 0 & &\leftrightarrow Y^{t*} = Y^t(\bar{\mathrm{SD}}, \bar{M}, \bar{\pi}, \bar{W}), \\ \dfrac{\bar{M}}{P} - L(Y^t, r) &= 0 & &\leftrightarrow r^* = r(\bar{\mathrm{SD}}, \bar{M}, \bar{\pi}, \bar{W}), \\ N^t - N^d \left( \dfrac{\bar{W}}{P} \right) &= 0 & &\leftrightarrow N^{t*} = N^t(\bar{\mathrm{SD}}, \bar{M}, \bar{\pi}, \bar{W}), \\ Y^t - f(N^t) &= 0 & &\leftrightarrow P^* = P(\bar{\mathrm{SD}}, \bar{M}, \bar{\pi}, \bar{W}), \end{aligned}$$

3. Aplicando diferenciales:

   $$\begin{aligned} (1 - C_{Y^t}) dY^t - I_r dr &= d\bar{\mathrm{SD}} + I_r d\bar{\pi}, \\ -L_{Y^t} dY^t - L_r dr + \dfrac{\bar{M}}{P^2} dP &= \dfrac{d\bar{M}}{P}, \\ dN^t - N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \left( \dfrac{d\bar{W}}{P} - \dfrac{\bar{W}}{P^2} dP \right) &= 0, \\ dY^t - f'(N^t) dN^t &= 0. \end{aligned}$$

4. Despejando exógenas:

   $$\begin{aligned} (1 - C_{Y^t}) dY^t - I_r dr &= d\bar{\mathrm{SD}} + I_r d\bar{\pi}, \\ -L_{Y^t} dY^t - L_r dr - \dfrac{\bar{M}}{P^2} dP &= -\dfrac{d\bar{M}}{P}, \\ dN^t + N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \left( \dfrac{\bar{W}}{P^2} dP \right) &= N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \left( \dfrac{d\bar{W}}{P} \right), \\ dY^t - f'(N^t) dN^t &= 0. \end{aligned}$$

5. Matrices:

   $$\begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 & 0 \\ -L_{Y^t} & -L_r & -\dfrac{\bar{M}}{P^2} & 0 \\ 0 & 0 & N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \dfrac{\bar{W}}{P^2} & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -f'(N^t) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} dY^t \\ dr \\ dP \\ dN^t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & I_r & 0 \\ 0 & -\dfrac{1}{P} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \dfrac{1}{P} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\bar{\mathrm{SD}} \\ d\bar{M} \\ d\bar{\pi} \\ d\bar{W} \end{bmatrix}.$$

6. Cálculo del determinante:

   $$\Delta = \begin{vmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 & 0 \\ -L_{Y^t} & -L_r & -\dfrac{\bar{M}}{P^2} & 0 \\ 0 & 0 & N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \dfrac{\bar{W}}{P^2} & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -f'(N^t) \end{vmatrix}.$$

   Expandiendo por la cuarta fila:

   $$\Delta = (-f'(N^t)) \cdot (-1)^{4+4} \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 \\ -L_{Y^t} & -L_r & -\dfrac{\bar{M}}{P^2} \\ 0 & 0 & N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \dfrac{\bar{W}}{P^2} \end{bmatrix} + 1 \cdot (-1)^{4+3} \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 \\ -L_{Y^t} & -L_r & -\dfrac{\bar{M}}{P^2} \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

   El segundo determinante es:

   $$\det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 \\ -L_{Y^t} & -L_r & -\dfrac{\bar{M}}{P^2} \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = -I_r \dfrac{\bar{M}}{P^2}.$$

   El primer determinante es:

   $$\det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 \\ -L_{Y^t} & -L_r & -\dfrac{\bar{M}}{P^2} \\ 0 & 0 & N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \dfrac{\bar{W}}{P^2} \end{bmatrix} = N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \dfrac{\bar{W}}{P^2} \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r \\ -L_{Y^t} & -L_r \end{bmatrix}.$$

   Calculando:

   $$\det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r \\ -L_{Y^t} & -L_r \end{bmatrix} = (1 - C_{Y^t})(-L_r) - (-I_r)(-L_{Y^t}) = -L_r (1 - C_{Y^t}) - I_r L_{Y^t}.$$

   Entonces:

   $$\Delta = -f'(N^t) \cdot N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \dfrac{\bar{W}}{P^2} \left[ -L_r (1 - C_{Y^t}) - I_r L_{Y^t} \right] - I_r \dfrac{\bar{M}}{P^2}.$$

   $$\begin{aligned}\Delta ={} &-f'(N^t) \cdot N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \dfrac{\bar{W}}{P^2} \left[ -L_r (1 - C_{Y^t}) - I_r L_{Y^t} \right] \\ &{} - I_r \dfrac{\bar{M}}{P^2}.\end{aligned}$$

   Factorizando:

   $$\Delta = \dfrac{\bar{M} I_r}{P^2} - f'(N^t) N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \dfrac{\bar{W}}{P^2} \left[ L_r (1 - C_{Y^t}) + I_r L_{Y^t} \right].$$

   $$\begin{aligned}\Delta ={} &\dfrac{\bar{M} I_r}{P^2} \\ &{} - f'(N^t) N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \dfrac{\bar{W}}{P^2} \left[ L_r (1 - C_{Y^t}) + I_r L_{Y^t} \right].\end{aligned}$$

   Dado que $L_r < 0$, $I_r < 0$, $1 - C_{Y^t} > 0$, $L_{Y^t} > 0$, $f'(N^t) > 0$, $N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} < 0$, $\bar{M} > 0$, $P > 0$, el signo de $\Delta$ depende de los valores, pero típicamente $\Delta < 0$.

7. Análisis de política fiscal:

   Consideramos $\frac{dN^t}{d\bar{W}}$, con $d\bar{W} \neq 0$, $d\bar{\mathrm{SD}} = 0$, $d\bar{\pi} = 0$, $d\bar{M} = 0$:

   $$\begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 & 0 \\ -L_{Y^t} & -L_r & -\dfrac{\bar{M}}{P^2} & 0 \\ 0 & 0 & N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \dfrac{\bar{W}}{P^2} & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -f'(N^t) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{dY^t}{d\bar{W}} \\ \dfrac{dr}{d\bar{W}} \\ \dfrac{dP}{d\bar{W}} \\ \dfrac{dN^t}{d\bar{W}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \dfrac{1}{P} \\ 0 \end{bmatrix}.$$

   Calculamos $\frac{dN^t}{d\bar{W}}$ usando el método de Cramer:

   $$\dfrac{dN^t}{d\bar{W}} = \dfrac{\det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 & 0 \\ -L_{Y^t} & -L_r & -\dfrac{\bar{M}}{P^2} & 0 \\ 0 & 0 & N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \dfrac{\bar{W}}{P^2} & N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \dfrac{1}{P} \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}}{\Delta}.$$

   Numerador:

   $$\det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 & 0 \\ -L_{Y^t} & -L_r & -\dfrac{\bar{M}}{P^2} & 0 \\ 0 & 0 & N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \dfrac{\bar{W}}{P^2} & N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \dfrac{1}{P} \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = (-1)^{4+4} \cdot 0 \cdot \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 \\ -L_{Y^t} & -L_r & -\dfrac{\bar{M}}{P^2} \\ 0 & 0 & N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \dfrac{\bar{W}}{P^2} \end{bmatrix} + (-1)^{4+3} \cdot N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \dfrac{1}{P} \cdot \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 \\ -L_{Y^t} & -L_r & -\dfrac{\bar{M}}{P^2} \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

   El primer término es cero, y el segundo determinante es $-I_r \frac{\bar{M}}{P^2}$. Entonces:

   $$\det = - \left( N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \dfrac{1}{P} \right) \cdot \left( -I_r \dfrac{\bar{M}}{P^2} \right) = N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \dfrac{1}{P} I_r \dfrac{\bar{M}}{P^2}.$$

   Por lo tanto:

   $$\dfrac{dN^t}{d\bar{W}} = \dfrac{N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} \dfrac{1}{P} I_r \dfrac{\bar{M}}{P^2}}{\Delta}.$$

   Dado que $N^d_{\frac{\bar{W}}{P}} < 0$, $I_r < 0$, $\bar{M} > 0$, $P > 0$, y $\Delta < 0$, el signo es:

   $$\dfrac{dN^t}{d\bar{W}} < 0 \quad (\text{Desempleo}).$$

3.1 Supuestos

• Existe desempleo involuntario debido a un salario real $X$ por encima del nivel que garantiza el equilibrio en el mercado de trabajo ($N^s > N^d$).
• Equilibrio en el mercado de bienes: $Y^t = Y^d$.
• Equilibrio en el mercado monetario: $M^d = M^s$.
• Bajo el supuesto de que, ante una política económica, las variables reales ($Y^t$, $N^t$) se comportan de manera contracíclica a las variables nominales ($P$). Además, el salario real está por encima del nivel que vacía el mercado de trabajo, lo que genera desempleo.

$$\dfrac{dY^t}{dX} < 0, \quad \dfrac{dN^t}{dX} < 0, \quad \dfrac{dP}{dX} > 0.$$

$$\begin{aligned} \dfrac{W}{P} &= X \quad \Rightarrow \text{rígido}, \\ N^t &= N^d(X), \\ Y^t &= Y^s = Y^d, \\ M^d &= M^s. \end{aligned}$$

3.2 Planteamiento del Modelo

1. Ecuaciones del modelo:

   $$\begin{aligned} Y^t &= C(Y^t - \bar{T}) + I(r - \bar{\pi}) + \bar{\mathrm{SD}}, \quad \bar{\mathrm{SD}} = \bar{I} + \bar{C} + \bar{G}, \\ \dfrac{\bar{M}}{P} &= L(Y^t, r), \\ N^t &= N^d(X), \\ Y^t &= f(\bar{K}, N^t). \end{aligned}$$

   Variables endógenas: $Y^t$, $r$, $N^t$, $P$.

   Variables exógenas: $\bar{\mathrm{SD}}$, $\bar{M}$, $X$, $\bar{K}$, $\bar{T}$, $\bar{\pi}$.

2. Forma de identidad:

   Reescribimos las ecuaciones como identidades:

   $$\begin{aligned} Y^t - C(Y^t - \bar{T}) - I(r - \bar{\pi}) - \bar{\mathrm{SD}} &= 0, \\ \dfrac{\bar{M}}{P} - L(Y^t, r) &= 0, \\ N^t - N^d(X) &= 0, \\ Y^t - f(\bar{K}, N^t) &= 0. \end{aligned}$$

   Las variables endógenas dependen funcionalmente de las exógenas:

   $$\begin{aligned} \tilde{Y}^t &= Y^t(\bar{\mathrm{SD}}, \bar{\pi}, \bar{M}, X), \\ \tilde{r} &= r(\bar{\mathrm{SD}}, \bar{\pi}, \bar{M}, X), \\ \tilde{P} &= P(\bar{\mathrm{SD}}, \bar{\pi}, \bar{M}, X), \\ \tilde{N}^t &= N^t(\bar{\mathrm{SD}}, \bar{\pi}, \bar{M}, X). \end{aligned}$$

3. Diferenciales:

   Tomamos la diferencial total de cada ecuación:

   $$\begin{aligned} (1 - C_{Y^t}) dY^t - I_r dr &= d\bar{\mathrm{SD}} + I_r d\bar{\pi}, \\ L_{Y^t} dY^t + L_r dr + \dfrac{\bar{M}}{P^2} dP &= \dfrac{1}{P} d\bar{M}, \\ dN^t &= N^d_X dX, \\ dY^t - f'(N^t) dN^t &= 0. \end{aligned}$$

4. Representación matricial:

   Escribimos el sistema en forma matricial $\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{B} \mathbf{z}$:

   $$\begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 & 0 \\ L_{Y^t} & L_r & \dfrac{\bar{M}}{P^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -f'(N^t) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} dY^t \\ dr \\ dP \\ dN^t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & I_r & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1}{P} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & N^d_X \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\bar{\mathrm{SD}} \\ d\bar{\pi} \\ d\bar{M} \\ dX \end{bmatrix}.$$

5. Cálculo del determinante:

   La matriz $\mathbf{A}$ es:

   $$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 & 0 \\ L_{Y^t} & L_r & \dfrac{\bar{M}}{P^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -f'(N^t) \end{bmatrix}.$$

   Calculamos $\det(\mathbf{A})$ expandiendo por la tercera columna:

   $$\det(\mathbf{A}) = \dfrac{\bar{M}}{P^2} \cdot (-1)^{2+3} \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -f'(N^t) \end{bmatrix} + 1 \cdot (-1)^{4+4} \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 \\ L_{Y^t} & L_r & \dfrac{\bar{M}}{P^2} \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

   El primer determinante es 0 (dos filas proporcionales), así que:

   $$\det(\mathbf{A}) = \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 \\ L_{Y^t} & L_r & \dfrac{\bar{M}}{P^2} \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

   Expandimos por la tercera fila:

   $$\det = 1 \cdot \det \begin{bmatrix} -I_r & 0 \\ L_r & \dfrac{\bar{M}}{P^2} \end{bmatrix} = -I_r \cdot \dfrac{\bar{M}}{P^2}.$$

   Dado que $I_r < 0$, $\bar{M} > 0$, $P > 0$, entonces:

   $$\det(\mathbf{A}) = -I_r \dfrac{\bar{M}}{P^2} > 0.$$

6. Análisis del multiplicador $\frac{dN^t}{dX}$:

   Consideramos $dX \neq 0$, $d\bar{\mathrm{SD}} = 0$, $d\bar{\pi} = 0$, $d\bar{M} = 0$:

   $$\begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 & 0 \\ L_{Y^t} & L_r & \dfrac{\bar{M}}{P^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -f'(N^t) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{dY^t}{dX} \\ \dfrac{dr}{dX} \\ \dfrac{dP}{dX} \\ \dfrac{dN^t}{dX} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ N^d_X \\ 0 \end{bmatrix}.$$

   Usamos el método de Cramer:

   $$\dfrac{dN^t}{dX} = \dfrac{\det(\mathbf{A}_{dN^t})}{\det(\mathbf{A})},$$

   donde:

   $$\mathbf{A}_{dN^t} = \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 & 0 \\ L_{Y^t} & L_r & \dfrac{\bar{M}}{P^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & N^d_X \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

   Calculamos el determinante expandiendo por la tercera columna:

   $$\det(\mathbf{A}_{dN^t}) = N^d_X \cdot (-1)^{3+4} \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 \\ L_{Y^t} & L_r & \dfrac{\bar{M}}{P^2} \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

   Usamos el determinante ya calculado:

   $$\det(\mathbf{A}_{dN^t}) = -N^d_X \cdot \left( -I_r \dfrac{\bar{M}}{P^2} \right) = N^d_X I_r \dfrac{\bar{M}}{P^2}.$$

   Entonces:

   $$\dfrac{dN^t}{dX} = \dfrac{N^d_X I_r \dfrac{\bar{M}}{P^2}}{-I_r \dfrac{\bar{M}}{P^2}} = -N^d_X.$$

   Dado que $N^d_X < 0$ (la demanda de trabajo disminuye con un mayor salario real), entonces:

   $$\dfrac{dN^t}{dX} < 0.$$

   Esto es consistente con el modelo clásico con rigidez de salario real: un aumento en $X$ reduce el empleo $N^t$.

7. Análisis del multiplicador $\frac{dr}{dX}$:

   Calculamos el efecto de un cambio en el salario real rígido ($X$) sobre la tasa de interés ($r$):

   $$\dfrac{dr}{dX} = \dfrac{\det(\mathbf{A}_{dr})}{\det(\mathbf{A})},$$

   donde:

   $$\mathbf{A}_{dr} = \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & 0 & 0 & 0 \\ L_{Y^t} & N^d_X & \dfrac{\bar{M}}{P^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -f'(N^t) \end{bmatrix}.$$

   Calculamos el determinante expandiendo por la tercera columna:

   $$\det(\mathbf{A}_{dr}) = 0 \cdot (\text{cofactor}) + 1 \cdot (-1)^{4+4} \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & 0 & 0 \\ L_{Y^t} & N^d_X & \dfrac{\bar{M}}{P^2} \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

   El determinante es:

   $$\det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & 0 & 0 \\ L_{Y^t} & N^d_X & \dfrac{\bar{M}}{P^2} \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = 0,$$

   ya que la tercera columna tiene ceros en la primera y tercera filas. Entonces:

   $$\dfrac{dr}{dX} = \dfrac{0}{-I_r \dfrac{\bar{M}}{P^2}} = 0.$$

   Esto indica que un cambio en el salario real rígido no afecta la tasa de interés, lo que es consistente con el modelo.

8. Análisis del multiplicador $\frac{dY^t}{dX}$:

   $$\dfrac{dY^t}{dX} = \dfrac{\det(\mathbf{A}_{dY^t})}{\det(\mathbf{A})},$$

   donde:

   $$\mathbf{A}_{dY^t} = \begin{bmatrix} 0 & -I_r & 0 & 0 \\ 0 & L_r & \dfrac{\bar{M}}{P^2} & 0 \\ N^d_X & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -f'(N^t) \end{bmatrix}.$$

   Calculamos el determinante:

   $$\det(\mathbf{A}_{dY^t}) = 0 \cdot (\text{cofactor}) + (-f'(N^t)) \cdot (-1)^{4+4} \det \begin{bmatrix} 0 & -I_r & 0 \\ 0 & L_r & \dfrac{\bar{M}}{P^2} \\ N^d_X & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

   El determinante del bloque es:

   $$\det \begin{bmatrix} 0 & -I_r & 0 \\ 0 & L_r & \dfrac{\bar{M}}{P^2} \\ N^d_X & 0 & 0 \end{bmatrix} = N^d_X \cdot (-1)^{3+1} \det \begin{bmatrix} -I_r & 0 \\ L_r & \dfrac{\bar{M}}{P^2} \end{bmatrix} = N^d_X \cdot (-I_r) \cdot \dfrac{\bar{M}}{P^2}.$$

   Entonces:

   $$\det(\mathbf{A}_{dY^t}) = -f'(N^t) \cdot N^d_X \cdot (-I_r) \cdot \dfrac{\bar{M}}{P^2} = f'(N^t) N^d_X I_r \dfrac{\bar{M}}{P^2}.$$

   Por lo tanto:

   $$\dfrac{dY^t}{dX} = \dfrac{f'(N^t) N^d_X I_r \dfrac{\bar{M}}{P^2}}{-I_r \dfrac{\bar{M}}{P^2}} = f'(N^t) N^d_X.$$

   Dado que $f'(N^t) > 0$ y $N^d_X < 0$, entonces:

   $$\dfrac{dY^t}{dX} < 0.$$

9. Análisis del multiplicador $\frac{dP}{dX}$:

   $$\dfrac{dP}{dX} = \dfrac{\det(\mathbf{A}_{dP})}{\det(\mathbf{A})},$$

   donde:

   $$\mathbf{A}_{dP} = \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 & 0 \\ L_{Y^t} & L_r & N^d_X & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & -f'(N^t) \end{bmatrix}.$$

   Calculamos el determinante:

   $$\det(\mathbf{A}_{dP}) = N^d_X \cdot (-1)^{2+3} \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -f'(N^t) \end{bmatrix} + 1 \cdot (-1)^{4+4} \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 \\ L_{Y^t} & L_r & N^d_X \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

   El primer determinante es 0, y el segundo es:

   $$\det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r & 0 \\ L_{Y^t} & L_r & N^d_X \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = -N^d_X \cdot \det \begin{bmatrix} 1 - C_{Y^t} & -I_r \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = -N^d_X \cdot (-I_r) = N^d_X I_r.$$

   Entonces:

   $$\dfrac{dP}{dX} = \dfrac{N^d_X I_r}{-I_r \dfrac{\bar{M}}{P^2}} = -\dfrac{N^d_X}{\dfrac{\bar{M}}{P^2}}.$$

   Dado que $N^d_X < 0$, $\bar{M} > 0$, $P > 0$, entonces:

   $$\dfrac{dP}{dX} > 0.$$