Este trabajo explora los fundamentos matemáticos de la proporcionalidad y sus aplicaciones en el campo de las Ciencias de la Comunicación. Se analizan conceptos clave como razones, proporciones y magnitudes, junto con sus implementaciones prácticas en estrategias mediáticas, análisis de audiencias y diseño de mensajes. El estudio demuestra cómo estas herramientas matemáticas optimizan procesos comunicacionales en entornos digitales y tradicionales
Palabras clave
proporcionalidad, comunicación, matemáticas aplicadas, análisis de audiencias, estrategias mediáticas
Este trabajo monográfico analiza la aplicación de conceptos matemáticos de proporcionalidad, como la regla de tres, el reparto proporcional en el ámbito de las ciencias de la comunicación. Estas herramientas permiten resolver problemas prácticos, optimizar procesos y tomar decisiones informadas basadas en datos cuantitativos, en un contexto donde la precisión y la eficiencia son esenciales. El objetivo es demostrar cómo estas técnicas matemáticas, fundamentadas en razones y proporciones, se integran en la planificación estratégica, la distribución equitativa de recursos y la evaluación de resultados.
La monografía se estructura en tres capítulos principales: el Capítulo I aborda los fundamentos teóricos de razones y proporciones, el Capítulo II explora las aplicaciones de las magnitudes proporcionales, y el Capítulo III presenta casos prácticos que ilustran su relevancia. Finalmente, se ofrecen conclusiones y recomendaciones para fortalecer el uso de estas herramientas en la formación académica y profesional, acompañadas de referencias bibliográficas.
Razones y Proporciones
Historia
La historia de la razón y la proporcionalidad de magnitudes es un proceso complejo que se desarrolló desde la Antigua Grecia, pasando por la Edad Media y el Renacimiento, hasta influir en la enseñanza y comprensión actual de estos conceptos. El desarrollo de la razón y la proporcionalidad fue importante para el avance de las matemáticas y su aplicación en diversas disciplinas como las ciencias de la comunicación.
Orígenes y Evolución Histórica
Según Thorup (1992) los matemáticos griegos, antes de Euclides, ya exploraban teorías de proporciones basadas en el método de la “anthyphairesis” (división recíproca), que permitía comparar magnitudes incluso cuando no eran conmensurables. Euclides formalizó la teoría en el Libro V de los Elementos, definiendo la igualdad y el orden relativo de razones.
para Abdounur (2009) en la Edad Media y Renacimiento, la traducción latina de Euclides por Campanus de Novara en el siglo XIII introdujo una interpretación aritmética de la proporcionalidad, añadiendo el concepto de “denominatio” para la razón, lo que no estaba en el original griego. Este proceso fue influenciado por tradiciones latinas y árabes, y se aceleró durante el Renacimiento.
Ya en el Renacimiento, según Kim (2023), Silvio Belli, en 1573, intentó simplificar y corregir la teoría de razón y proporción para facilitar su aprendizaje, aunque cometió errores matemáticos comprensibles para su época. Su obra refleja la transición hacia una visión más aritmética y aplicada, especialmente en arquitectura e ingeniería.
Etimología
La palabra razón proviene del latín ratio, que significa “cálculo” o “proporción”. Por su parte, proporción deriva del latín proportio, que implica una relación equilibrada o simétrica entre partes.
Definición
Razón
Según Park (2008), es una relación entre dos cantidades que indica cuántas veces una contiene a la otra o cómo se comparan entre sí. Se clasifica en:
Razón Aritmética
Se refiere a la diferencia entre dos números o términos consecutivos de una secuencia (por ejemplo, en una progresión aritmética, la razón aritmética es la constante que se suma para pasar de un término al siguiente). Su fórmula es:
\[
r = A - B
\]
Donde:
\(r\) es la razón
\(A\) es el Antecedente
\(B\) es el Consecuente.
Razón Geométrica
Es la relación basada en el cociente entre dos cantidades, especialmente relevante en secuencias donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante (progresión geométrica). Su fórmula es:
\[
r = \frac{A}{B}
\]
Donde:
\(r\) es la razón
\(A\) es el Antecedente
\(B\) es el Consecuente.
Proporción
Es una igualdad entre dos razones, es decir, una relación que indica que dos pares de cantidades tienen la misma relación entre sí.
Proporción Aritmética: Se da cuando la diferencia entre términos consecutivos es constante. \[
A - B = C - D
\]
Donde:
\(A, B, C, D\) son magnitudes
\(A-C\) son los términos extremos
\(B-D\) los términos medios.
Discreta La proporcionalidad discreta aritmética establece una relación entre cuatro magnitudes donde la diferencia entre dos términos es igual a la diferencia entre otros dos. La relación se expresa como:
\[
A - B = C - D
\]
Donde:
\(D\) es la cuarta diferencial de \(A\), \(B\) y \(C\).
Continua La proporcionalidad continua aritmética describe una relación entre tres magnitudes. La relación se expresa como:
\[
A - B = B - C
\]
Donde: - \(C\) es la tercera diferencial de \(A\) y \(B\), y \(B\) es la media diferencial de \(A\) y \(C\).
Proporción Geométrica: Se da cuando la razón (cociente) entre términos consecutivos es constante. \[
\frac{A}{B} = \frac{C}{D} \quad \text{o} \quad A \cdot D = B \cdot C
\]
Donde: - \(A, B, C, D\) son magnitudes
\(A\) y \(D\) son los términos extremos
\(B\) y \(C\) son los términos medios.
Discreta La proporcionalidad discreta geométrica describe una relación entre cuatro magnitudes donde el cociente entre dos términos es igual al cociente entre otros dos. La relación se expresa como:
\[
\frac{A}{B} = \frac{C}{D}
\]
Donde:
\(D\) es la cuarta proporcional de \(A\), \(B\) y \(C\).
Continua La proporcionalidad continua geométrica describe una relación entre tres magnitudes. La relación se expresa as:
\[
\frac{A}{B} = \frac{B}{C}
\]
Donde:
\(C\) es la tercera proporcional de \(A\) y \(B\)
\(B\) es la media proporcional de \(A\) y \(C\), implicando:
\[
B^2 = A \cdot C
\]
Propiedades de la Proporción Geométrica:
Sea la proporción \(\frac{A}{B} = \frac{C}{D}\)
\(\frac{A+B}{A} = \frac{C+D}{C}\)
\(\frac{A-B}{B} = \frac{C-D}{D}\)
\(\frac{A+B}{A-B} = \frac{C+D}{C-D}\)
\(\frac{A^n}{B^n} = \frac{C^n}{D^n} ; \quad n \in \mathbb{Q}\)
\(\frac{A-C}{B-D} = \frac{A}{B} = \frac{C}{D}\)
Magnitudes Proporcionales
Según Arican y Kiymaz (2022) es la relación entre dos cantidades donde el cambio en una afecta a la otra de manera predecible y constante, ya sea aumentando o disminuyendo juntas (directa) o en sentido contrario (inversa).
Magnitudes Directamente Proporcionales
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar o dividir una por un número, la otra también se multiplica o divide por ese mismo número.
Consideremos la relación entre el número de publicaciones en redes sociales de un medio periodístico y el número de interacciones (likes, comentarios, compartidos) que estas generan. La siguiente tabla muestra datos hipotéticos:
Tabla 1: Relación entre Publicaciones en redes sociales e Interacciones
Publicaciones en redes sociales (\(x\), en publicaciones)
2
4
6
8
10
Interacciones (\(y\), en cientos)
20
40
60
80
100
En esta tabla, observamos que el número de publicaciones en redes sociales y las interacciones son directamente proporcionales. A medida que aumenta el número de publicaciones, las interacciones crecen proporcionalmente.
La relación directamente proporcional se representa como una línea recta que pasa por el origen.
Mostrar el código
import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as np# Datosx = np.array([2, 4, 6, 8, 10]) # Publicaciones en redes socialesy = np.array([20, 40, 60, 80, 100]) # Interacciones (en cientos)# Gráficaplt.figure(figsize=(6,4))plt.plot(x, y, 'o-', color='blue', label='Datos observados')plt.plot(x, 10*x, '--', color='gray', label='Línea de proporcionalidad ($y = 10x$)')plt.xlabel('Publicaciones en redes sociales ($x$, en publicaciones)')plt.ylabel('Interacciones ($y$, en cientos)')# plt.title('Relación entre Publicaciones e Interacciones')# plt.grid(True)# plt.legend()# Ocultar bordes (spines) superiores y derechosax = plt.gca()ax.spines['top'].set_visible(False)ax.spines['right'].set_visible(False)plt.tight_layout()plt.show()
Relación entre Publicaciones en redes sociales e Interacciones
Caso General
Para cualquier par de magnitudes directamente proporcionales \(A\) e \(B\), se cumple:
Tabla 2: Magnitudes directamente proporcionales
\(A\)
\(A_1\)
\(A_2\)
\(A_3\)
\(B\)
\(B_1\)
\(B_2\)
\(B_3\)
La relación entre estas magnitudes satisface:
\[
\frac{A_1}{B_1} = \frac{A_2}{B_2} = \frac{A_3}{B_3} = k
\]
En general:
\[
\frac{A_i}{B_i} = k, \quad \text{donde } 1 \leq i < n, \quad i \in \mathbb{Z}
\]
Aquí, \(k\) es la constante de proporcionalidad directa.
Función de Proporcionalidad Directa
La relación entre dos magnitudes directamente proporcionales se expresa mediante una función lineal homogénea:
\[
f(x) = kx
\]
donde \(f(x)\) es la magnitud dependiente (en este caso, las interacciones), \(x\) es la magnitud independiente (publicaciones) y \(k\) es la constante de proporcionalidad.
Ejemplo Artículos Publicados y Lectores
Ahora, consideremos otro ejemplo. Supongamos que el número de artículos publicados en un sitio web periodístico está relacionado con el número de lectores que visitan el sitio:
Tabla 3: Relación entre Artículos publicados y Lectores
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al aumentar una, la otra disminuye en la misma proporción, y viceversa
Imagina un medio periodístico que verifica noticias antes de publicarlas. A mayor tiempo dedicado a verificar noticias, menor es el número de errores en las publicaciones. La siguiente tabla se muestra los datos:
Tabla 4: Relación entre Tiempo de verificación y Errores en publicaciones
Tiempo de verificación (\(x\), en horas)
1
2
4
8
Errores en publicaciones (\(y\), en cantidad)
40
20
10
5
El tiempo de verificación y los errores en publicaciones son inversamente proporcionales. Esto se verifica porque el producto de ambas magnitudes es constante:
La relación inversamente proporcional se visualiza como una curva hiperbólica.
Mostrar el código
import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as np# Datosx = np.array([1, 2, 4, 8]) # Tiempo de verificación (en horas)y = np.array([40, 20, 10, 5]) # Errores en publicaciones (en cantidad)# Gráficaplt.figure(figsize=(6,4))plt.plot(x, y, '*-', color='blue', label='Datos observados')plt.plot(x, 40/x, '--', color='gray', label='Curva de proporcionalidad ($y = 40/x$)')plt.xlabel('Tiempo de verificación ($x$, en horas)')plt.ylabel('Errores en publicaciones ($y$, en cantidad)')# plt.title('Relación entre Verificación y Errores')# plt.grid(True)# plt.legend()# Ocultar bordes (spines) superiores y derechosax = plt.gca()ax.spines['top'].set_visible(False)ax.spines['right'].set_visible(False)plt.tight_layout()plt.show()
Relación entre Tiempo de verificación y Errores en publicaciones
La gráfica muestra cómo, al aumentar el tiempo de verificación, el número de errores disminuye, siguiendo una relación inversa.
Caso General
Para dos magnitudes inversamente proporcionales \(A\) e \(B\), se cumple:
\[
A_i \cdot B_i = k, \quad \text{donde } 1 \leq i < n, \quad i \in \mathbb{Z}
\]
Aquí, \(k\) es la constante de proporcionalidad inversa.
Función de Proporcionalidad Inversa
La relación inversamente proporcional se expresa como:
\[
y = \frac{k}{x}
\]
donde \(y\) es la magnitud dependiente (errores), \(x\) es la magnitud independiente (tiempo de verificación) y \(k\) es la constante de proporcionalidad inversa.
Ejemplo Frecuencia de Titulares Clickbait y Confianza del Lector
Consideremos otro ejemplo: la relación entre la frecuencia de titulares clickbait (titulares exagerados para atraer clics) y la confianza del lector en un medio:
Tabla 6: Relación entre Frecuencia de titulares clickbait y Confianza del lector
Frecuencia de titulares clickbait (\(x\), por semana)
\(A \text{ IP } B \Leftrightarrow A^n \text{ IP } B^n\)
Aplicaciones de las Magnitudes Proporcionales
Las magnitudes proporcionales permiten distribuir cantidades de forma equitativa según una relación directa o inversa. Este proceso, conocido como reparto proporcional, asigna una cantidad total entre varias partes según una variable de referencia. Se divide en dos tipos: reparto directo y reparto inverso.
Reparto Directo
El reparto directo distribuye una cantidad total entre varias partes proporcionalmente a sus magnitudes. Por ejemplo, supongamos que se desea repartir un presupuesto de S/ 12,000 entre tres proyectos según el número de publicaciones planificadas, con proporciones de 1, 3 y 4.
Calculamos:
\[
\text{Total a repartir: } 12,000
\]
\[\begin{align*}
\begin{cases}
1k = \text{Monto para el primer proyecto} \\
3k = \text{Monto para el segundo proyecto} \\
4k = \text{Monto para el tercer proyecto} \\
\end{cases}
\end{align*}\]
Los proyectos reciben S/ 1,500, S/ 4,500 y S/ 6,000, respectivamente.
Gráfica del Reparto Directo
La siguiente gráfica ilustra cómo se distribuye el presupuesto según las proporciones:
Mostrar el código
import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as np# Datosproyectos = ['Proyecto 1', 'Proyecto 2', 'Proyecto 3']proporciones = np.array([1, 3, 4])montos = proporciones *1500# k = 1500# Gráficaplt.figure(figsize=(6,4))plt.bar(proyectos, montos, color='skyblue', label='Monto asignado')plt.xlabel('Proyectos')plt.ylabel('Monto asignado (S/)')# plt.title('Reparto directo del presupuesto')# plt.grid(True, axis='y')# plt.legend()# Ocultar bordes (spines) superiores y derechosax = plt.gca()ax.spines['top'].set_visible(False)ax.spines['right'].set_visible(False)plt.tight_layout()plt.show()
Distribución del presupuesto según número de publicaciones
Reparto Inverso
El reparto inverso distribuye una cantidad total entre varias partes de forma inversamente proporcional a sus magnitudes. Por ejemplo, supongamos que se desea repartir un fondo de S/ 60,000 entre tres equipos según el tiempo de entrega de artículos, con proporciones de 1, 2 y 4 horas.
La distribución se calcula como sigue:
\[
\text{Total a repartir: } 60,000
\]
\[\begin{align*}
\begin{cases}
\frac{k}{1} = \text{Monto para el primer equipo} \\
\frac{k}{2} = \text{Monto para el segundo equipo} \\
\frac{k}{4} = \text{Monto para el tercer equipo} \\
\end{cases}
\end{align*}\]
La suma total es:
\[
\frac{k}{1} + \frac{k}{2} + \frac{k}{4} = k \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) = k \cdot \frac{7}{4} = 60,000
\]
Resolviendo para \(k\):
\[
k = \frac{60,000 \cdot 4}{7} \approx 34,285.71
\]
Con 12 máquinas, tomará aproximadamente 2.67 horas.
Gráfica de la Regla de Tres Inversa
La siguiente gráfica muestra la relación inversa entre máquinas y tiempo:
Mostrar el código
import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as np# Datosmaquinas = np.array([4, 8])tiempo = np.array([12, 2.67])# Gráficaplt.figure(figsize=(6,4))plt.plot(maquinas, tiempo, 'o-', color='blue', label='Datos observados')plt.plot(maquinas, 32/maquinas, '--', color='gray', label='Proporción ($y = 32/x$)')plt.xlabel('Número de máquinas')plt.ylabel('Tiempo (horas)')# plt.title('Regla de tres simple inversa')# plt.grid(True)# plt.legend()# Ocultar bordes (spines) superiores y derechosax = plt.gca()ax.spines['top'].set_visible(False)ax.spines['right'].set_visible(False)plt.tight_layout()plt.show()
Relación entre número de máquinas y tiempo de impresión
Regla de Tres Compuesta
La regla de tres compuesta se usa cuando más de dos magnitudes están involucradas. Se combinan proporciones directas e inversas para resolver el problema.
Ejemplo: Si 3 periodistas escriben 6 artículos en 12 horas, ¿cuánto tiempo tomará a 6 periodistas escribir 12 artículos?
Proporción directa (artículos): Más artículos requieren más tiempo.
Proporción inversa (journalistas): Más periodistas reducen el tiempo.
Relación entre número de videos y tiempo de producción
Ejercicio 2
Problema: Si 5 diseñadores tardan 10 días en crear 100 gráficos, ¿cuántos días tardarán 10 diseñadores en crear los mismos 100 gráficos?
Solución:
Dado que el número de diseñadores y el tiempo son inversamente proporcionales (a más diseñadores, menos tiempo), usamos la regla de tres simple inversa:
\[
\text{Magnitud 1} \cdot \text{Magnitud 2} = k \quad \Rightarrow \quad a \cdot b = c \cdot x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{a \cdot b}{c}
\]
Relación entre número de diseñadores y tiempo de creación
Ejercicio 3
Problema: Se desea repartir un presupuesto de S/ 15,000 entre tres campañas según el número de anuncios planificados, con proporciones de 2, 3 y 5. ¿Cuánto recibirá cada campaña?
Solución:
Usamos el reparto proporcional directo, donde el presupuesto se distribuye según las proporciones:
\[
\text{Total a repartir: } 15,000
\]
Asignamos:
\[
\begin{cases}
2k = \text{Monto para la primera campaña} \
3k = \text{Monto para la segunda campaña} \
5k = \text{Monto para la tercera campaña} \
\end{cases}
\]
Distribución del presupuesto según número de anuncios
Ejercicio 4
Problema: Un contrato de servicios tiene un costo original de S/ 1,000. Se aplican dos descuentos sucesivos del 15% y del 10%. ¿Cuál es el costo final después de los descuentos?
Solución:
Para calcular el costo final, usamos la fórmula de descuentos sucesivos para encontrar el descuento único equivalente:
\[
\text{Descuento único} = (a + b) - \frac{a \cdot b}{100}
\]
La proporcionalidad, a través de herramientas como la regla de tres simple, el reparto proporcional y los porcentajes, proporciona un marco matemático para abordar desafíos en la gestión de recursos y el análisis de datos. Estas técnicas permiten optimizar la asignación de presupuestos, planificar tiempos de producción y evaluar métricas de impacto, asegurando decisiones estratégicas basadas en cálculos precisos. Su simplicidad y versatilidad las convierten en recursos esenciales para profesionales que buscan eficiencia en entornos dinámicos, conectando la teoría matemática con aplicaciones prácticas.
Para maximizar el impacto de estas herramientas, se recomienda incorporar módulos prácticos en los planes de estudio de ciencias de la comunicación, enfocados en resolver problemas reales, como la distribución de recursos o el análisis de indicadores de audiencia. Asimismo, se sugiere desarrollar talleres interactivos y recursos digitales, como simuladores o aplicaciones, que faciliten el aprendizaje de estas técnicas y refuercen las competencias cuantitativas de los estudiantes.
Bibliografía y referencias
Abdounur, Oscar João. 2009. «A Preliminary Survey on the Emergence of an Arithmetical Theory of Ratios». Circumscribere 9: 1-8. https://repositorio.usp.br/item/003065271.
Arican, Muhammet, y Yasemin Kiymaz. 2022. «Investigating Preservice Mathematics Teachers’ Definitions, Formulas, and Graphs of Directly and Inversely Proportional Relationships». The Mathematics Enthusiast 19 (2): 632-56. https://doi.org/10.54870/1551-3440.1566.
Park, Jung-Sook. 2008. «The Historical Developments Process of the Representations and Meanings for Ratio and Proportion». Journal for History of Mathematics 21 (3): 53-66. https://koreascience.kr/article/JAKO200800557082829.page.
Thorup, Anders. 1992. «A Pre-Euclidean Theory of Proportions». Archive for History of Exact Sciences 45 (1): 1-16. https://doi.org/10.1007/BF00375885.
